【二阶偏导数fxy怎么求】在多元函数的微积分中，二阶偏导数是研究函数变化率的重要工具。其中，fxy 表示先对 x 求偏导，再对 y 求偏导的结果。理解并掌握如何计算 fxy 是学习多变量微积分的关键内容之一。
一、基本概念
- 一阶偏导数：函数 f(x, y) 对某个变量（如 x 或 y）求导，得到的是该变量方向上的变化率。
- 二阶偏导数：在一阶偏导数的基础上，继续对另一个变量进行求导，得到的是函数曲面在两个不同方向上的变化率。
常见的二阶偏导数包括：
| 偏导数表示 | 含义 |
| fxx | 先对 x 求导，再对 x 求导 |
| fxy | 先对 x 求导，再对 y 求导 |
| fyx | 先对 y 求导，再对 x 求导 |
| fyy | 先对 y 求导，再对 y 求导 |
二、二阶偏导数 fxy 的求法步骤
1. 第一步：求 f 关于 x 的一阶偏导数 f_x
- 即对 x 求导，y 视为常数。
2. 第二步：将 f_x 再对 y 求偏导，得到 f_xy
- 此时，x 视为常数，对 y 进行求导。
三、举例说明
假设函数为：
$$ f(x, y) = x^2 y + \sin(xy) $$
第一步：求 f_x
$$
f_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y + \sin(xy)) = 2xy + y\cos(xy)
$$
第二步：求 f_xy
$$
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy + y\cos(xy)) = 2x + \cos(xy) - xy\sin(xy)
$$
四、总结表格
| 步骤 | 操作 | 示例结果 |
| 1 | 对 x 求偏导 | $ f_x = 2xy + y\cos(xy) $ |
| 2 | 对 y 求偏导 | $ f_{xy} = 2x + \cos(xy) - xy\sin(xy) $ |
五、注意事项
- 在实际计算中，要注意乘积法则和链式法则的应用。
- 如果函数较复杂，建议分步计算，避免出错。
- fxy 和 fyx 通常相等（在连续可微条件下），但并非总是如此，需根据具体情况判断。
通过以上步骤和方法，可以系统地求出二阶偏导数 fxy。掌握这一技能对于理解和应用多元函数的极值、梯度、方向导数等内容具有重要意义。
