【高中三角函数公式】在高中数学中，三角函数是重要的基础知识之一，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握常见的三角函数公式对于解题和理解相关知识具有重要意义。以下是对高中阶段常用三角函数公式的总结，结合文字说明与表格形式进行展示。
一、基本概念
三角函数是基于直角三角形或单位圆定义的函数，主要包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）三种基本函数，以及它们的倒数函数：余切（cot）、正割（sec）、余割（csc）。这些函数在不同象限中的符号和值有特定规律。
二、基本公式汇总
| 函数名称 | 定义式 | 倒数关系 | 三角恒等式 |
| 正弦（sin） | $\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$ | $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ | $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ |
| 余弦（cos） | $\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$ | $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ | $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ |
| 正切（tan） | $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$ | $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ | $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ |
| 余切（cot） | $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\text{邻边}}{\text{对边}}$ | $\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta}$ | $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$ |
| 正割（sec） | $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ | $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}$ | $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ |
| 余割（csc） | $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ | $\sin \theta = \frac{1}{\csc \theta}$ | $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$ |
三、诱导公式
诱导公式用于将任意角度转换为0°到90°之间的角度，便于计算和记忆。常见诱导公式如下：
| 角度变换 | 公式示例 |
| $\sin(-\theta)$ | $-\sin \theta$ |
| $\cos(-\theta)$ | $\cos \theta$ |
| $\tan(-\theta)$ | $-\tan \theta$ |
| $\sin(90^\circ - \theta)$ | $\cos \theta$ |
| $\cos(90^\circ - \theta)$ | $\sin \theta$ |
| $\sin(180^\circ - \theta)$ | $\sin \theta$ |
| $\cos(180^\circ - \theta)$ | $-\cos \theta$ |
| $\tan(180^\circ - \theta)$ | $-\tan \theta$ |
四、和差角公式
和差角公式用于计算两个角度相加或相减后的三角函数值：
| 公式类型 | 公式表达 |
| 正弦和差公式 | $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$ |
| 余弦和差公式 | $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$ |
| 正切和差公式 | $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$ |
五、倍角与半角公式
倍角公式用于计算一个角的两倍或一半的三角函数值：
| 公式类型 | 公式表达 |
| 正弦倍角公式 | $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ |
| 余弦倍角公式 | $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$ |
| 正切倍角公式 | $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ |
| 正弦半角公式 | $\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$ |
| 余弦半角公式 | $\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$ |
| 正切半角公式 | $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$ |
六、积化和差与和差化积公式
这些公式常用于简化三角函数的乘积或和的形式：
| 公式类型 | 公式表达 |
| 积化和差（正弦） | $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$ |
| 积化和差（余弦） | $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$ |
| 积化和差（正弦） | $\sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)]$ |
| 和差化积（正弦） | $\sin A + \sin B = 2\sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A - B}{2} \right)$ |
| 和差化积（余弦） | $\cos A + \cos B = 2\cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A - B}{2} \right)$ |
| 和差化积（正弦） | $\sin A - \sin B = 2\cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A - B}{2} \right)$ |
总结
高中阶段的三角函数公式内容丰富，涵盖了基本定义、恒等式、诱导公式、和差角公式、倍角与半角公式，以及积化和差与和差化积公式。熟练掌握这些公式不仅有助于解决数学问题，也为后续学习更复杂的数学知识打下坚实基础。建议通过反复练习和实际应用来加深理解和记忆。
