【黄金分割法公式】在数学和工程优化领域，黄金分割法是一种经典的单变量函数最优化方法。它利用黄金分割比例来逐步缩小搜索区间，从而高效地找到函数的极值点。黄金分割法适用于连续、单峰函数的优化问题，具有计算简单、收敛速度快的特点。
一、黄金分割法的基本原理
黄金分割法的核心思想是将一个区间按照黄金分割比例进行划分，通过比较函数值的大小，不断缩小搜索范围，直到达到预定的精度要求。
黄金分割比例为：
$$
\alpha = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618
$$
在每次迭代中，算法会在当前区间 $[a, b]$ 中选取两个对称点 $x_1$ 和 $x_2$，其位置分别为：
$$
x_1 = a + (1 - \alpha)(b - a)
$$
$$
x_2 = a + \alpha(b - a)
$$
然后比较 $f(x_1)$ 和 $f(x_2)$ 的大小，根据函数值的大小关系，保留包含极值点的子区间，舍去另一部分，继续迭代。
二、黄金分割法的步骤
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 确定初始区间 $[a, b]$，并设定精度 $\varepsilon$ |
| 2 | 计算黄金分割点 $x_1$ 和 $x_2$ |
| 3 | 计算函数值 $f(x_1)$ 和 $f(x_2)$ |
| 4 | 比较 $f(x_1)$ 和 $f(x_2)$，决定保留哪个子区间 |
| 5 | 更新区间 $[a, b]$，重复步骤2-4，直到满足精度要求 |
三、黄金分割法的优点与局限性
| 优点 | 局限性 |
| 不需要求导，适用于不可导或难以求导的函数 | 要求函数在区间内为单峰函数 |
| 收敛速度较快，效率高 | 对初始区间的选取较为敏感 |
| 实现简单，易于编程 | 不能用于多变量优化问题 |
四、黄金分割法公式总结表
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||
| 黄金分割比例 | $\alpha = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ | 用于确定分割点的位置 | ||
| 分割点1 | $x_1 = a + (1 - \alpha)(b - a)$ | 区间左侧分割点 | ||
| 分割点2 | $x_2 = a + \alpha(b - a)$ | 区间右侧分割点 | ||
| 迭代终止条件 | $ | b - a | < \varepsilon$ | 当区间长度小于设定精度时停止 |
五、应用实例（简要）
假设目标函数为 $f(x) = x^2 - 4x + 5$，初始区间为 $[1, 3]$，精度 $\varepsilon = 0.01$。
1. 初始区间：$a=1$, $b=3$
2. 计算 $x_1 = 1 + (1 - 0.618)(3 - 1) = 1.764$
3. 计算 $x_2 = 1 + 0.618(3 - 1) = 2.236$
4. 比较 $f(x_1)$ 和 $f(x_2)$，保留更优区间
5. 重复迭代，直到区间长度小于 0.01
最终可得到函数的最小值点约为 $x = 2$。
六、结语
黄金分割法是一种实用且高效的单变量优化方法，尤其适合在没有导数信息的情况下寻找函数极值。虽然其适用范围有限，但在许多实际工程和数学问题中仍具有重要价值。掌握其基本原理与公式，有助于提升解决优化问题的能力。
