【几何平均数的公式】在统计学和数学中，几何平均数是一种常用的平均值计算方式，尤其适用于描述增长率、比例变化或具有乘法关系的数据集。与算术平均数不同，几何平均数更能反映数据之间的相对变化趋势，常用于投资回报率、人口增长、指数计算等领域。
一、几何平均数的定义
几何平均数（Geometric Mean）是指将一组正数相乘后，再开n次方（n为数据个数）所得到的结果。其基本思想是通过乘法来衡量数据的集中趋势，而不是简单的加法。
二、几何平均数的公式
设有一组正数：$ x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n $，则它们的几何平均数公式为：
$$
\text{几何平均数} = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times x_3 \times \cdots \times x_n}
$$
或者写成：
$$
\text{几何平均数} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}}
$$
其中：
- $ \prod $ 表示连乘符号；
- $ n $ 是数据的个数；
- $ x_i $ 是第i个数据点。
三、几何平均数的特点
| 特点 | 描述 |
| 适用于正数 | 几何平均数仅对正数有意义，不能包含0或负数 |
| 受极端值影响小 | 相比算术平均数，几何平均数对极端值不敏感 |
| 适合比率数据 | 常用于计算增长率、收益率等比例变化数据 |
| 与对数相关 | 几何平均数等于各数据对数值的算术平均数的指数形式 |
四、几何平均数的应用场景
| 应用场景 | 说明 |
| 投资回报率 | 计算多期投资的平均回报率 |
| 人口增长 | 分析人口增长率的变化 |
| 指数计算 | 如消费者价格指数（CPI）、股票指数等 |
| 质量评估 | 对多个指标进行综合评分时使用 |
五、几何平均数与算术平均数的区别
| 比较项 | 几何平均数 | 算术平均数 |
| 公式 | $ \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} $ | $ \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} $ |
| 适用范围 | 正数、比例数据 | 所有实数 |
| 对极端值敏感度 | 较低 | 较高 |
| 结果大小 | 通常小于或等于算术平均数 | 通常大于或等于几何平均数 |
六、举例说明
假设某公司连续三年的利润增长率分别为：5%、10%、15%，求这三年的平均增长率。
步骤如下：
1. 将百分比转换为小数：1.05、1.10、1.15
2. 计算几何平均数：
$$
\sqrt[3]{1.05 \times 1.10 \times 1.15} = \sqrt[3]{1.32825} \approx 1.10
$$
3. 转换回百分比：1.10 - 1 = 0.10 → 10%
因此，这三年的平均增长率约为 10%。
七、总结
几何平均数是一种重要的统计工具，特别适用于处理具有乘法关系的数据。它能够更真实地反映数据的增长趋势和相对变化，广泛应用于金融、经济、生物学等多个领域。掌握其公式和应用场景，有助于更准确地分析和解读数据。
