在数学中，对勾函数（也称双钩函数）是一种具有特定形式的函数，其表达式通常为 \( f(x) = x + \frac{k}{x} \)，其中 \( k \) 是一个非零常数。这种函数因其图像形似对勾而得名，广泛应用于高中数学以及一些高等数学问题中。

要证明对勾函数在其定义域内的单调性，我们需要从函数的导数入手。导数是判断函数单调性的有力工具，如果导数在某个区间内恒为正，则该函数在该区间内单调递增；若导数恒为负，则函数在该区间内单调递减。

首先，我们计算对勾函数 \( f(x) = x + \frac{k}{x} \) 的一阶导数：

\[

f'(x) = 1 - \frac{k}{x^2}.

\]

接下来，分析 \( f'(x) \) 的符号变化。令 \( f'(x) = 0 \)，可以得到：

\[

1 - \frac{k}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = k.

\]

因此，当 \( k > 0 \) 时，\( x = \pm\sqrt{k} \) 是两个临界点；当 \( k < 0 \) 时，方程无实根，函数在整个定义域内没有驻点。

根据 \( f'(x) \) 的表达式，我们可以进一步讨论其符号变化：

- 当 \( k > 0 \) 时，在区间 \( (-\infty, -\sqrt{k}) \) 和 \( (\sqrt{k}, +\infty) \) 上，\( f'(x) > 0 \)，函数在此范围内单调递增；

在区间 \( (-\sqrt{k}, 0) \) 和 \( (0, \sqrt{k}) \) 上，\( f'(x) < 0 \)，函数在此范围内单调递减。

- 当 \( k < 0 \) 时，由于 \( x^2 > 0 \)，始终有 \( f'(x) > 0 \)，因此函数在整个定义域内单调递增。

综上所述，通过对导数的分析，我们可以清楚地确定对勾函数的单调性。这种方法不仅直观，而且能够准确描述函数的行为特征，是解决此类问题的经典途径。

需要注意的是，在实际应用中，还需结合函数的具体定义域来进一步验证上述结论。例如，当 \( k > 0 \) 时，函数在 \( x = 0 \) 处无定义，因此需要排除这一点的影响。

通过以上步骤，我们成功证明了对勾函数的单调性，并揭示了其背后的数学逻辑。这种分析方法不仅适用于对勾函数，还可以推广到其他类似形式的函数，为更复杂的数学问题提供了解决思路。