在数学中，三角函数是研究角与边关系的重要工具之一。当我们提到某个角度的正弦值时，通常会希望得到一个精确的结果，而不是近似值。比如今天我们要探讨的角度 75° 的正弦值，其结果需要以根号的形式表达。
什么是sin75°？
正弦函数（sin）是三角学中的基本概念之一，用于描述直角三角形中某锐角的对边与斜边的比例关系。而 75° 是一个特殊角度，它位于第一象限，且可以分解为两个更简单的角度之和，即：
\[
75^\circ = 45^\circ + 30^\circ
\]
利用这一特性，我们可以借助三角恒等式来求解 sin75° 的具体值。
利用三角恒等式计算sin75°
根据两角和公式：
\[
\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
\]
将 \(a=45^\circ\) 和 \(b=30^\circ\) 代入，得到：
\[
\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)
\]
接下来我们代入已知的特殊角值：
- \(\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}, \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
因此：
\[
\sin(75^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)
\]
化简后：
\[
\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}
\]
进一步合并分母相同的项：
\[
\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
\]
最终答案
通过上述推导，我们得到了 sin75° 的精确值：
\[
\boxed{\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}
\]
总结
三角函数的学习离不开对特殊角的记忆和公式的灵活运用。对于像 75° 这样的非标准角度，我们可以通过将其拆分为已知的简单角度（如 45° 和 30°），并结合三角恒等式进行计算。最终，sin75° 的结果被表示为根号形式，既简洁又准确。
如果你对其他特殊角的三角函数值感兴趣，不妨继续探索！
