当我们讨论向量的坐标形式时，通常会涉及到如何通过已知的分量来表示和计算这个新的向量。确实，在许多教材中，向量叉乘的表达方式与三阶行列式密切相关。具体而言，如果给定两个三维向量A=(a₁, a₂, a₃)和B=(b₁, b₂, b₃)，它们的叉乘结果C=A×B可以被定义为：
\[ C = \begin{vmatrix}
i & j & k \\
a₁ & a₂ & a₃ \\
b₁ & b₂ & b₃
\end{vmatrix} \]
这里的i、j、k分别代表x轴、y轴和z轴方向上的单位向量。上述表达式实际上是一个三阶行列式，通过展开后得到的结果就是叉乘向量C的具体分量值。即：
- \( c₁ = a₂b₃ - a₃b₂ \)
- \( c₂ = a₃b₁ - a₁b₃ \)
- \( c₃ = a₁b₂ - a₂b₁ \)
因此，可以说向量叉乘确实是基于这样的三阶行列式来定义的，并且这种方法广泛应用于物理问题如力矩计算、磁场强度分析等领域。
需要注意的是，虽然这种定义方式直观且易于记忆，但它背后有着更深层次的几何意义——叉乘的结果不仅具有大小信息，还包含了方向的信息（遵循右手定则）。此外，在实际应用过程中，掌握好这一公式的推导过程有助于加深对该概念的理解，并能灵活应对各种复杂情况。
